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Enseigner les mathématiques à la maternelle

Françoise Cerquetti-Aberkane & Catherine Berdonneau

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La mise en place des activités Repérage dans l’espace
La formation de l’esprit logique Activités numériques
Codage et décodage Approche de la mesure

La mise en place des activités

L’organisation matérielle de la classe

Une action en trois étapes :

  1. Une activité motrice globale
  2. Une activité motrice circonscrite
  3. Une action intériorisée

L’organisation pratique de la classe

  1. Les échanges lors des regroupements
  2. Seuls ou en interaction avec un petit groupe
  3. Des actions à faire et refaire

Les activités de vie pratique

  1. Mathématiser une situation

Il s’agit de :

C’est une démarche très exigeante qui amène souvent à des illusions de la part du maître

  1. Exploiter des situations de la vie pratique

Les affichages

  1. Affichage permanent
  1. Affichage momentané

Les albums

Créer une bibliothèque mathématique à partir des titres suivants :

Entraînement à la gestion mentale

L’évocation :

Rappeler mentalement dans le présent une perception antérieure. C’est une activité mentale essentielle car c’est elle qui permet la constitution d’images mentales. L’enseignant doit prévoir dans toute activité de manipulation, un moment où l’enfant est entraîné à prendre de la distance par rapport à ses perceptions, à les traduire en évocations.

Les autres gestes mentaux :

L’attention : traduire en évocation les perceptions au fur et à mesure qu’on les reçoit.

La mémorisation : le projet d’utiliser ultérieurement les évocations effectuées au moment de la perception. Elle comporte 4 conditions mentales :

Elle se répartit en 2 formes :

NB. On développe ces compétences en amenant les enfants à exercer leurs sens. Le développement d’un sens entraîne conjointement un progrès des autres.

 

La résolution de problème

Partir du vécu

PS : faire résoudre des problèmes dans des situations vécues.
MS : commencer à les faire coder.
NB. La correspondance scolaire donne du sens à ce codage.

Ex : Donner un ballon à chaque groupe de deux élèves. Trois étapes :

  1. résoudre le problème
  2. expliquer ce que l’on a fait et schématiser
  3. résoudre un problème du même type sans manipuler ou avec des jetons.

Rôle et place de la trace écrite

Une trace : pour qui, pourquoi ?

Pour montrer le travail des élèves ou l’utiliser, on peut photocopier ou photographier des manipulations et les reconstruire pour les poursuivre.

Une mémoire vivante

Pour que l’enfant puisse se référer à un document écrit comme auxiliaire de mémoire il faut  que le document figure sur :

La trace en faux négatif et faux positif

L’activité sur support papier doit être gardée pour la phase terminale d’un apprentissage.

En conclusion

Les séances collectives comportant un modèle au tableau ou avec du matériel de démonstration manipulé par quelques élèves ou le maître seul suivi d’une fiche photocopiée ne constituent pas un apprentissage.

Attention :

L’évaluation

Le plus souvent l’observation continue, soutenue par quelques prises de notes, suffit à donner des informations de manière assez précise sur les compétences de la plupart des élèves d’une classe.

Comment procéder ?
Quand ?

 

Jeux et matériels

Définir le jeu     

Le jeu est une activité physique ou mentale, gratuite, généralement fondée sur la convention ou la fiction, qui n’a, dans la conscience de la personne qui s’y livre, d’autre fin qu’elle-même et que le plaisir qu’elle procure.

L’atelier de jeu

Des caractéristiques communes :
Divers critères de classement :

Le jeu source d’apprentissage

Morceler l’atelier de jeu. Limiter les effectifs à 3 ou 4 élèves mais accepter des spectateurs à condition qu’ils ne perturbent pas le jeu.

Phase d’appropriation en petit groupe ou en regroupement
Arrêt sur image

Quand le jeu est connu de tous, il faut s’interrompre soit durant une partie avec le petit groupe concerné soit hors d’un partie avec toute la classe pour analyser ce que l’on fait, les divers moments du jeu, les stratégies adoptées.

Faire évoluer la gamme des jeux

C’est indispensable. On peut :

Intérêt des jeux

Socialisation

Apprendre à respecter les autres, à jouer à son tour, à attendre, à respecter le matériel, à perdre.

Développement de compétences transversales

Apprendre à effectuer des choix, prendre des décisions, adopter une stratégie.

Communication

Entre pairs, surtout pour des jeux coopératifs. Avec l’enseignant pour réguler, comprendre, commenter

Inconvénients

Choisir un jeu

Les matériels, des jeux solitaires

Comme les adultes, les enfants peuvent s’adonner à des jeux solitaires que l’on appellera matériels et qu’il convient d’installer dans un coin.

Les matériels sources d’apprentissage
Intérêt de l’utilisation de matériels
Inconvénients des matériels

Pas de véritables inconvénients

Modalités de choix

Le matériel doit :

Le jeu spéculatif : les "défis" ou situations problèmes

Mots croisés, puzzles à pièces nombreuses, casse-tête…ont  des caractéristiques proches de situations problèmes :

Les "défis" sources d’apprentissage
  • Généralement proposé à toute la classe
  • Lors d’un moment de regroupement ou laissé à portée de mains
  • Ne peut se cantonner à la durée des ateliers
  • Utilité de ménager des moments de discussion
  • Intérêt
    Inconvénients

    La formation de l’esprit logique

    Classement et sériation

    Ce qu’il faut savoir

    Une remarque : classer et ranger ont un sens spécifique en mathématique.

    La notion d’ensemble est beaucoup plus complexe que l’idée intuitive de collection car :

    Apparier, trier, classer des éléments

    Les diverses propriétés que peuvent avoir des éléments d’un ensemble peuvent être utilisées pour construire des sous-ensembles selon les valeurs d’un critère, par des opérations de tri, classement ou ordonnancement… Le classement correspond en mathématique à une relation d’équivalence.

    Ordonner des éléments

    Les relations d’ordre permettent de constituer des chaînes d’éléments distincts pour lesquels deux à deux la propriété est vraie dans un sens mais pas dans l’autre.

    Codage et décodage

    Comment représenter les propriétés et les relations reliant différents objets ? On étudiera en particulier les arbres et les tableaux à double entrée.
    Le tableau à double entrée est utile pour présenter plus simplement des résultats, des classements. Il faut amener les enfants à se l’approprier en présentant des activités différencies  et en montrant qu’il ne permet pas de résoudre tous les problèmes de classement à plusieurs critères.

    Suites et algorithmes

    Une suite est un ensemble ordonné.
    Un algorithme est une suite finie d’actions élémentaires devant être exécutées dans un ordre précis permettant de résoudre une classe de problèmes de la vie courante – la cuisson d’un morceau de viande, le nettoyage d’un sol – ou intellectuelle – résoudre une soustraction.

    Suites ou algorithmes

    Le travail sur les suites, d’abord non répétitives, puis définies par la reproduction d’une cellule génératrice, et ultérieurement par la transformation régulière de la cellule génératrice permet d’aborder la possibilité de planifier un travail et de développer des compétences méthodologiques.

    Repérage dans l’espace

    Connaissance générale de l’espace

    La topologie est l’étude des propriétés de l’espace qui restent invariantes par une transformation continue.
    À la maternelle il s’agit de l’étude intuitive de ces notions. Les activités géométriques permettent une autre approche de l’espace que celle abordée en EPS ou en géographie ; elles préparent l’enfant à l’abstraction et l’initient au raisonnement et à la formulation d’hypothèses.

    Modifier les représentations de l’enfant

    Le faire passer de la représentation topologique à d’autres représentations.

    Les différentes géométries

    L’indispensable mise en place de l’image du corps

    La structuration de l’espace ne peut se faire que lorsque l’enfant a acquis une image mentale correcte de son propre corps ce qui passe par des activités pluridisciplinaires.

    Géométrie

    Le réel et l’image

    La plupart du temps on ne précise pas si l’on parle d’un objet ou de sa représentation. Pour les objets géométriques, il est impossible de présenter les objets eux-mêmes aux enfants. Dès la GS, les enfants sont capables de percevoir et d’utiliser la distinction entre objet réel et objet géométrique.

    Glossaire

    Remarque : - Le cercle : le bord de la figure - Le disque : la surface de la figure.
    On peut parler de rond mais si on utilise le terme cercle, il faut le faire à bon escient et ne pas parler de "l’intérieur du cercle".

    Se familiariser avec des figures

    On peut aborder trois domaines :

    Il faut éviter que les images mentales ne se construisent de manière stéréotypée d’où la nécessité de varier les activités, les présentations pour limiter les prégnances perceptives.

    Activités numériques

    Lorsqu’on écrit un nombre en chiffres sous la dictée on ne code pas l’oral de même lorsqu’on lit un nombre écrit en chiffres, on ne décode pas de l’écrit.

    Écriture et lecture des nombres

    Travailler séparément l’oral et l’écrit

    La comptine numérique doit être travaillée pour elle-même. Il faut permettre aux enfants de lire les nombres écrits en chiffres en utilisant une lecture positionnelle. (123 : 1 suivi de 2 suivi de 3). Quand les deux systèmes sont suffisamment maîtrisés on fait le lien entre les deux.
    Parallèlement, on apprend aux élèves à bien tracer les chiffres.

    L’aspect ordinal

    Cela suppose connaître :

    L’aspect cardinal

    Pour indiquer combien d’objets compte une collection, l’enfant doit :

    Ces apprentissages se font par imprégnation et imitation.

    L’aspect groupement base

    Il relève plutôt du CP mais divers jeux peuvent le préparer. On échange deux objets contre un qui vaut plus.

     

    Histoire et pratique des nombres

    Les différents systèmes de numération ont été d’abord inventés pour noter les quantités et servir de mémoire. Pour qu’un système soit pratique, il faut que l’écriture des nombres soit simple et que la quantité de signes ne soit pas trop importante.

    Il y a trois grands types de systèmes de numération.

    Le système additif : ex la numération romaine

    Il fait appel à un nombre limité de signes, chacun ayant une valeur constante. Un nouveau signe est créé pour chaque nouveau groupement de la base. L’ordre des signes n’a pas d’importance. On ne peut écrire qu’une quantité limitée de nombres.

    Le système additif et multiplicatif : ex la numération sino-japonaise

    Il fait appel à un nombre fini de signes différents, chacun ayant une valeur constante. Chaque nombre est écrit avec un ensemble de signes. Pour trouver la valeur d’un nombre on multiplie chaque nombre par celui qui le précède s’il est inférieur.

    Notre numération orale fonctionne selon ce procédé avec beaucoup d’irrégularités toutefois.

    Le système positionnel

    La valeur des signes dépend de leur position. Ce système repose sur un groupement d’unités puis de groupes d’unités selon une règle : la base. Pour nous la base 10. Dans certaines numérations on s’appuie sur la base 5.

    Notre système actuel de numération

    Comme la plupart des pays européens nous avons :

    L’étude du premier système n’est pas une aide pour l’apprentissage du second.

    Caractéristiques du système français de numération orale

    Nous avons 28 mots pour exprimer les nombres :

    Avec tous ces mots il est difficile de lire un nombre de 30 chiffres par exemple, car la combinaison de tous ces mots aboutit à un énoncé incompréhensible.

    Les enfants et les nombres

    Ils ont souvent du mal à mémoriser la suite des seize premiers nombres surtout ceux se terminant par "ze" phonème acquis plus tard. L’impossibilité de trouver un algorithme oral pour les nombres entre dix et vingt explique ces difficultés.

    Les irrégularités

    70 et 90 qui proviennent sans doute de la base 20, "cent" et non "un cent" mais "un million"... Tout ceci ne peut être appris que par imprégnation. Les noms de nombres sont à fournir sans état d’âme et sans chercher à faire "entendre" quelque chose.

    Caractéristiques de notre système de numération écrite
    À propos de partage

    Il existe trois sortes de partage :

    Approche de la mesure

    Grandeur et mesure

    Il est important de faire comprendre aux enfants que les notions de petit, grand, moyen, sont relatives. Le travail sur les grandeurs et l’approche de la mesure doit être mené de front avec l’acquisition de la notion de conservation.

    Grandeurs mesurables

    Pour faire des mesures il faut disposer d’un étalon, un instrument type de mesure fixe servant d’unité de comparaison. Le choix des étalons est arbitraire, de même que les relations qui lient les différentes unités entre elles.

    1. La longueur : Dans la langue courante, le concept de longueur se traduit par une variété de termes : longueur, largeur, hauteur, épaisseur, profondeur. Les comparaisons et mesures de longueur sont en général faciles à vérifier.
    2. La surface : Pour comparer deux surfaces, on procède par recouvrement mais le plus souvent il faut passer par le découpage et collage sans interstice. La vérification est possible.
    3. Le volume : Sauf lorsqu’un des solides peut entrer dans l’autre ou que la différence d’encombrement saute aux yeux, il faut procéder indirectement par immersion successive de chacun des deux objets dans un même récipient.
    4. La masse : Aucune comparaison directe des masses n’est possible sauf cas particuliers où la différence est évidente. Il faut passer par la pesée ou la balance à deux plateaux.

    Grandeurs non mesurables

    Ce sont des grandeurs seulement repérables :

    1. La température : Si l’on mélange de l’eau à 100° avec de l’eau à 20°, on n’obtient pas de l’eau à 120°. Il n’y a pas additivité des températures. Il faut donc recourir à un instrument de repérage et non de mesure : le thermomètre.
    2. Le temps : Voir ci-dessous

    Repérage dans le temps

    Qu’est-ce que le temps ?

    L’étude du temps concerne :

    1. L’histoire
    2. La géologie
    3. La biologie
    4. La physique

    D’un point de vue mathématique le temps ne présente aucun intérêt particulier. Néanmoins, il faut garder à l'esprit deux aspects :

    1. l’instant que le mathématicien assimile à un point sur une droite
    2. la durée qui serait un intervalle de cette droite orientée.

    La mesure de durée nécessite, sauf cas particuliers, le recours à des instruments de mesure sophistiqués. La mesure effectuée ne permet pas de vérification car le temps s’écoule de manière irréversible.

    Les hommes et le temps

    Pour l’être humain, la conscience du temps s’appuie sur :

    1. des repères extérieurs naturels, l’alternance jour/nuit
    2. un rythme biologique : éveil, activité, repas, sommeil qui se règle sur des repères extérieurs et peut se modifier quand ceux-ci disparaissent (expérience dans une grotte…)
    La vie sociale

    Les questions relatives au temps portent sur :

    1. La simultanéité : être à l’heure. On règle habituellement sa montre à la minute près avec une incertitude de deux ou trois minutes alors qu’on dispose d’instrument permettant une plus grande précision.
    2. La durée : mesurer de longues durées exprimées en heures voire en jours et en années, mesurer avec précision des intervalles courts pour un médecin, pour des athlètes.
    Le temps de l’enfant

    L’enfant vit environné d’instruments de repérage du temps et d’adultes qui s’y réfèrent. Il va devoir apprendre à structurer le temps :

    1. construire la chronologie
    2. mettre en place la notion de durée délicate car subjective
    3. acquérir des notions culturelles

    Fréquentation du calendrier

    Elle est utile dès la petite section.

    Chronologie, irréversibilité

    L’irréversibilité de la succession des instants complexifie la structuration du temps par les enfants. Le temps présente aussi un aspect cyclique. Entre deux événements non simultanés, les liens d’antériorité/postériorité peuvent être de deux types :

    1. antériorité non causale : seule la mémoire permet de reconstituer la chronologie
    2. antériorité causale : on ne peut interchanger l’ordre des événements sans perdre la logique de leur articulation